Pierre di Fermat meninggal pada tahun
1665. Dewasa ini kita
mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli
teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah
mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan
hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta
bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika,
dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks.
Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia
akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil
alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang
ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan
matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang
terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil
ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir
Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat
taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which
this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan
kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya
Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai
remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan
biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain.
Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan
Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia
sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat
hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku-
siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas
hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang
mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam
simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat.
Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk
diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem
adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat
x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia
mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang
ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari
mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang
mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler
memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler
menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3
(a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia
mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga
maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini
melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat
sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari
Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan
bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah
saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi
kedalam dua kasus.
Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu
dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n.
Sophie Germain membuktikan kasus pertama dari Teorema Fermat untuk semua n
kurang dari 100 dan Legendre memperluas metode yang dikembangkan Germain
meliputi semua bilangan kurang dari 197. Dalam tahap ini kasus 2 belum pernah
dibuktikan bahkan untuk kasus n = 5, sehingga menjadi jelas bahwa kasus 2 harus
diperhatikan lebih serius. Sekarang kasus 2 untuk n = 5 juga terpecah kedalam
dua kasus lain.Kasus 2(i) jika bilangan yang habis dibagi 5 tersebut genap dan
kasus 2(ii) jika bilangan genap dan bilangan satunya yang habis dibagi 5
berbeda.
Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris
Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan
bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825.
Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5
dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari
kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem
untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia
hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan
oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru.
Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan
pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil
tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang
dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun
tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT.
Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam
faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville.
Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam
pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan
untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu
tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi.
Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan
argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan
argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n =
2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh
Gauss).]
Pada tanggal 24 Mei Liouville membaca suarat yang ditujukan pada Acad- emy
yang memberikan kepastian. Surat tersebut berasal dari Kummer, menyertakan
paper bertahun 1844 yang membuktikan bahwa ketunggalan faktorisasi tidak
dipenuhi tapi dapat diperbaiki dengan memperkenalkan konsep bilangan ideal
kompleks yang telah ia kerjakan pada tahun 1846. Kummer telah menggunakan teori
barunya untuk mencari kondisi kapan suatu bilangan prima regulear dan telah
membuktikan FLT untuk semua bilangan prima regular. Kummer juga menyertakan
dalam suratnya ini bahwa 37 akan gagal terhadap kondisi yang ia berikan. Pada
bulan Sepetmber 1847 Kummer mengirimi Dirichlet dan Berlin Academy suatu papaer
yang membuktikan bahwa suatu prima p regular (dan dengan demikian FLT benar
untuk bilangan tersebut) jika p tidak membagi pembilang dari semua bilangan
Bernoulli B2,B4, ...,Bp−3. Bilangan Bernoulli Bn didefinisikan oleh :
Kummer menunjukkan bahwa semua bilangan prima kurang dari 37 adalah regular,
tapi 37 tidak regular karena 37 membagi pembilang dari B32. Bilangan prima
kurang dari 100 yang tidak regular hanyalah 37,59, dan 67.Teknik yang lebih cangih
digunakan untuk membuktikan FLT untuk bilangan ini. Pekerjaan ini dilakukan dan
dilanjutkan oleh Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler,Vandiver dan
lainnya. Meskipun diharapkan bahwa bilangan prima regular ini takberhingga
banyaknya. Pada tahun 1915 Jensen membuktikan bahwa bilangan prima takregular
takberhingga banyaknya. Alih-alih mendapatkan hadiah bagi siapa yang
memecahkannya, FLT tetap tak terpecahkan. Ia merupakan teorema dengan banyak
bukti yang salah. Sebagai contoh 1000 bukti yang salah telah diterbitkan antara
tahun 1908 dan 1912. Satu-satunya kemajuan positif adalah hasil komputasi yang
menunjukkan bahwa bukti penyangkal hanya bisa didapatkan untuk bilangan yang
sangat besar. Dengan menggunakan teknik yang digunakan Kummer, FLT terbukti
benar, dengan bantuan komputer untuk n sampai dengan 4 000 000 pada tahun 1993.
Pada tahun 1983 kontribusi besar dibuat oleh Gerd Falting yang membuktikan
bahwa untuk n > 2 hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan relative prima
x, y, z dengan x^n + y^n = z^n . Ini merupakan langkah besar tapi bukti bahwa
berhingga bilangan adalah 0 tampaknya tidak bisa didapatkan dengan memperluas
argumen Falting. Bab terakhir dari cerita ini dimulai pada tahun 1955, meskipun
pada tahap ini pekerjaan ini tidak ada kaitannya dengan FLT. Yutaka Taniyama
memberikan pertanyaan menyangkut kurva eliptik, yakni kurva yang berbentuk y^2
= x^3 + ax + b dengan a dan b konstanta. Pekerjaan lanjutan oleh Weil dan
Shimura menghasilkan suatu konjektur, dikenal sebagai Shimura Taniyama Weil
conjecture. Pada tahun 1986 hubungan antara konjektur tersebut dengan FLT
dibuat oleh Frey di Saarbrucken yang menunjukkan bahwa FLT jauh dari
keingintahuan tak berguna dalam teori bilanagn tapi pada kenyataannya ia
berhubungan dengan sipat dasar yang dimiliki ruang. Pekerjaan lanjutan oleh
matematikawan lain menunjukkan bahwa contoh penyangkal FLT juga merupakan
contoh penyangkal terhadap Shimura-Taniyama-Weil Conjecture. Bukti dari FLT
diselesaikan pada tahun 1993 oleh Andrew Wiles, matematikawan Inggris yang
bekerja di Princenton, USA. Wiles memberikan tiga kuliah di Isaac Newton
Institute di Cambridge, Inggris. Yang pertama pada hari Senin tanggl 21 Juni,
yang kedua pada hari Selasa tanggal 22 Juni. Pada kuliah terakhir yakni pada
tanggal 23 Juni 1993 sekitar jam 10.30 pagi Wiles mengumumkan bahwa bukti dari
FLT merupakan corollary dari hasil utama yang ia peroleh. Sebenarnya Wiles
berhasil membuktikan Shimura-Taniyama-Weil Conjecture untuk suatu contoh kelas,
termasuk yang diperlukan untuk membuktikan FLT. Akan tetapi ini bukan akhir
dari cerita. Pada tanggal 4 Desember 1993 memberikan pernyataan bahwa setelah
melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum
terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik
ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mengatakan The key reduction
of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the
Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound
for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square
representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands.
I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas
explained in my Cambridge lectures.
Pada bulan Maret 1994 Falting menulis kepada Scientific American, mengatakan
If it were easy, he would have solved it by now. Strictly speaking, it was not
a proof when it was announced Weil, juga kepada Scientific American menuliskan
I believe he has had some good ideas in trying to construct the proof but the
proof is not there. To some extent, proving Fermat’s theorem is like climbing
Everest. If a man wants to climb Everest and falls short of it by 100 yards, he
has not climbed Everest.
Sebenarnya, sejak awal tahun 1994 Wiles memulai kolaborasi dengan Richard
Taylor dalam usahanya untuk mengisi lubang dalam pembuktian, Namun mereka
memutuskan bahwa langkah kunci bukti, menggunakan metode yang digunakan Flach,
tidak mungkin bekerja. Mereka mencoba pendekatan baru denagn ketidaksuksesan
yang serupa. Pada bulan Agustus 1994 Wiles menghadiri Interna-tional Congress
of Mathematicians tapi tidak pernah mendekati memecahkan kesulitannya. Taylor
menyarankan sebagai usaha terakhir untuk memperluas metode Fach seperlunya dan
Wiles meskipun yakin bahwa itu tidak akan berhasil, setuju unuk mencobanya
terutama untuk meyakinkan Taylor bahwa hal tersebut tidak akan pernah berhasil.
Wiles mengerjakannya sekitar dua minggu lamanya, kemudian tiba-tiba suatu
inspirasi muncul. In a flash I saw that the thing that stopped it [the
extension of Flach’s method] working was something that would make another
method I had tried previously work.
Pada tanggal 6 Oktober, Wiles mengirimkan bukti baru kepada tiga koleganya
termasuk Falting.Semua bukti yang diberikan lebih sederhan daripada yang
sebelumnya. Falting mengirimkan penyederhanaan terhadap beberapa bagian. Tidak
ada bukti dengan tingkat kerumitan seperti ini dijamin benar, jadi sejumlah
kecil masih sangsi untuk beberapa waktu. Namun ketika Taylor memberikan kuliah
pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia
memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last
Theorem.
.jpg)
